Cómo factorizar polinomios más difíciles

Guardar

Comstock Images/Comstock/Getty Images

Factorizar polinomios puede ser un proceso laborioso, especialmente si el grado (el mayor exponente en el polinomio) es mayor a dos. Sin embargo, hay trucos para factorizar de polinomios que no implican el uso de una sofisticada calculadora o computadora. Cualquier ecuación cuadrática (polinomio de grado dos) se puede factorizar usando la fórmula cuadrática. Puedes tener siempre a mano las sumas y diferencias de cubos. Finalmente, los polinomios con cuatro términos en ocasiones pueden factorizarse por agrupación.

Factorizar ecuaciones cuadráticas

Convierte el polinomio a la forma estándar de las ecuaciones cuadráticas ordenando los términos y reduciendo exponentes de izquierda a derecha: "Ax^2 + Bx + C".

Utilice "A", "B" y "C" en la ecuación "B^2 - (4_A_C)" para encontrar el discriminante. Para la ecuación 2x^2 + 6x - 7, "A" = 2, "B" = 15 y "C" = -7 (negativo porque se están restando 7). El discriminante es igual a 6^2 - 4_2_(-7), o 36 + 56 ó 92.

Toma la raíz cuadrada del discriminante. Si es un cuadrado positivo, tendrás un valor positivo. Si es un no-cuadrado positivo, tendrás un radical. Si es un número negativo, tendrás un número imaginario. Simplifica el radical o imaginario factorizando hacia fuera cualquier cuadrado. Por ejemplo: SqRt(92) = SqRt(4) * SqRt (23) = 2 * SqRt(23). Para negativos, SqRt(-72) = SqRt(36) * SqRt(2) * SqRt(-1) = 3_SqRt(2)_i (la raíz cuadrada de menos 1 se escribe como i).

Añade (-B) al discriminante, luego divide entre (2*A). Éste es uno de tus dos factores.

Resta el discriminante de (-B) , luego divide entre (2*A). Éste es el otro factor.

Reescribe el polinomio como (x - "primer factor") (x - "segundo Factor"). Por ejemplo, si los factores fueran 14 y -5, reformularías el polinomio como (x - 14)(x + 5).

Suma y diferencia de cubos

Escribe dos juegos de paréntesis, dejando un espacio para los dos términos en el primer término y tres términos en el segundo. En el primer juego, escribe la raíz cúbica del primer término del polinomio, seguida de un espacio, luego la raíz cúbica del segundo término. Por ejemplo, para x^3-27, escribirías (x - 3).

Eleva al cuadrado los términos primero y segundo del primer conjunto de paréntesis. Escribe estos valores como los términos primero y último del segundo conjunto de paréntesis: (x - 3)(x^2___ 9).

Eleva al cuadrado los términos primero y segundo del primer conjunto de paréntesis. Escribe este valor como el término de en medio del segundo conjunto de paréntesis: (x 3)(x^2 3x 9).

Utilice la regla mnemotécnica "IOSP" para determinar los signos entre los términos. El primer signo es "Igual", o el mismo que el polinomio original. El segundo signo es "Opuesto", o el signo opuesto al del polinomio original. El tercer signo es "Siempre Positivo." Para "x^3-27," el orden de los signos sería negativo, positivo, positivo, o (x - 3) (x^2 + 3x + 9).

Factorización por agrupación

Divide el polinomio en dos grupos, A y B, cada uno con el mismo número de términos. Un polinomio con cuatro términos debe agruparse en dos grupos de dos términos, etc. Asegúrate de que la diferencia entre el grado del primer y segundo término sea la misma para ambos grupos. Por ejemplo: 2x^3 +3x^2 - 6x - 9 debería dividirse en el grupo A = 2x^3 - 6x (la diferencia entre grados sería 2) y el grupo B: 3x^2 - 9 (la diferencia entre grados también es dos).

Factoriza ambos grupos obteniendo el factor común de sus los términos. Por ejemplo:

2x^3 - 6x = 2x(x^2 - 3) 3x^2 - 9 = 3(x^2 - 3)

Recombina los dos grupos. Los primeros paréntesis deben contener el factor que comparten el grupo A y B ("x^2 - 3" en el ejemplo anterior). El segundo par de paréntesis debe contener el factor común del grupo A y el factor común del grupo B ("2 x + 3" en el ejemplo anterior). 2x^3 + 3x^2 - 6x - 9 = (x^2 - 3)(2x - 3).