Cómo resolver el determinante de una matriz de 4 por 4

Escrito por Kenrick Callwood ; última actualización: February 01, 2018
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Las matrices ayudan a resolver ecuaciones simultáneas y se encuentran más a menudo en los problemas relacionados con la electrónica, robótica, estadística, optimización, programación lineal y genética. Lo mejor es usar computadoras para resolver un sistema grande de ecuaciones, sin embargo puedes resolver el determinante de una matriz de 4 por 4 sustituyendo los valores en las filas y usando la forma "triangular superior" de las matrices. Esto indica que el determinante de la matriz es el producto de los números en la diagonal cuando todo lo que se encuentra debajo de ella es 0.

Escribe las filas y columnas de la matriz de 4 por 4 (entre las líneas verticales) para obtener el determinante. Por ejemplo:

Fila 1 |1 2 2 1| Fila 2 |2 7 5 2| Fila 3 |1 2 4 2| Fila 4 |-1 4 -6 3|

Sustituye la segunda fila para crear un 0 en la primera posición de ser posible. La regla indica que (fila j) + o - (C * fila i) no cambiará el determinante de la matriz, en donde "fila j" es cualquier fila, "C" es un factor común y "fila i" es cualquier otra fila en la matriz. Para el ejemplo, (fila 2) - (2 * fila 1) creará un 0 en la primera posición de la fila 2. Resta los valores de la fila 2, multiplicada por cada número de la fila 1, de cada número correspondiente en la fila 2. La matriz se vuelve:

Fila 1 |1 2 2 1| Fila 2 |0 3 1 0| Fila 3 |1 2 4 2| Fila 4 |-1 4 -6 3|

Sustituye los números en la tercera fila para crear un 0 en la primera y la segunda posición de ser posible. Usa un factor común de 1 para la matriz de ejemplo y resta los valores de la tercera fila. La matriz de ejemplo se convierte en:

Fila 1 |1 2 2 1| Fila 2 |0 3 1 0| Fila 3 |0 0 2 1| Fila 4 |-1 4 -6 3|

Sustituye los números en la cuarta fila para obtener ceros en las primeras tres posiciones de ser posible. En el problema del ejemplo la última fila tiene -1 en la primera posición y la primera fila tiene 1 en la posición correspondiente, de manera que puedes sumar los valores multiplicados de la primera fila con los valores correspondientes de la última fila para obtener un cero en la primera posición. La matriz se convierte en:

Fila 1 |1 2 2 1| Fila 2 |0 3 1 0| Fila 3 |0 0 2 1| Fila 4 |0 6 -4 4|

Sustituye los números en la cuarta fila nuevamente para obtener ceros en las posiciones restantes. Para el ejemplo, multiplica la segunda fila por 2 y resta los valores de aquellos de la última fila para convertir la matriz a su forma "triangular superior", teniendo solamente ceros por debajo de la diagonal. La matriz ahora se ve como:

Fila 1 |1 2 2 1| Fila 2 |0 3 1 0| Fila 3 |0 0 2 1| Fila 4 |0 0 -6 4|

Sustituye los números en la cuarta fila nuevamente para obtener ceros en las posiciones restantes. Multiplica los valores en la tercera fila por 3, luego súmalos a los valores correspondientes en la última fila para obtener el cero final debajo de la diagonal en la matriz de ejemplo, que ahora se verá como:

Fila 1 |1 2 2 1| Fila 2 |0 3 1 0| Fila 3 |0 0 2 1| Fila 4 |0 0 0 7|

Multiplica los números en la diagonal para resolver el determinante de la matriz de 4 por 4. En este caso multiplica 1_3_2*7 para obtener un determinante de 42.

Consejos

También puedes usar la regla de la forma triangular inferior para resolver matrices. Esta regla indica que el determinante de la matriz es el producto de los números en la diagonal cuando todo lo que se encuentre por encima de ella sea 0.

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