Cómo factorizar mediante la división sintética

Escrito por Thomas Bourdin ; última actualización: February 01, 2018
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Los polinomios son uno de los fundamentos de los cursos matemáticos de precálculo. Un polinomio es una expresión que contiene variables elevadas a diferentes potencias (por ejemplo, x^4) y constantes (como el 8) que se suman y multiplican entre sí (por ejemplo x^2 + 2x - 5). La división sintética es un método para factorizar polinomios (esto es, simplificar la expresión) dividiendo el polinomio entre una expresión de la forma "x - a", en donde "a" es una constante. Al usar este método, la factorización es muy similar a la división larga, un concepto que se aprende por primera vez en la escuela primaria.

Escribe la división sintética de forma similar a la división larga. Por ejemplo, si quieres dividir la expresión polinomial x^4 - 3x + 5 entre x - 4, la división se escribe de la siguiente manera ****__ x - 4| x^4 + 0x^3 + 0x^2 -3x + 5.

Nota que se han añadido las expresiones 0x^3 y 0x^2. Aunque estos términos no estén escritos explícitamente en el polinomio, estos se encuentran contenidos en la expresión y escribirlos te ayudará en los pasos siguientes.

Vuelve a escribir la expresión como división larga incluyendo solamente los coeficientes constantes de los términos polinómicos. En el ejemplo anterior, esto dará como resultado la expresión

4| 1 0 0 -3 5 -- -----------------

Mueve el coeficiente principal a la linea inferior, lo que dará como resultado

4| 1 0 0 -3 5 -- ----------------- 1

Multiplica el término "a" del divisor por el número que pasaste a la fila inferior, luego escribe el producto bajo el siguiente coeficiente del dividendo y suma dichos términos. En este ejemplo, multiplicaremos 4 (que es el término "a " del divisor) por 1 (que es el número que se pasó hacia abajo) para obtener como resultado el número 4 que se escribe por debajo del siguiente término, lo que da como resultado

4| 1 0 0 -3 5 -- 4 ----------------- 1 4

Continúa el proceso de multiplicar el término "a" del divisor por el siguiente término del polinomio. Al hacer esto para cada término se obtiene

4| 1 0 0 -3 5 -- 4 16 64 244 ----------------------- 1 4 16 61 249

Vuelve a escribir los números en la fila inferior como un polinomio. Cada término de la fila inferior corresponde al coeficiente de una variable y cada número corresponde a una variable con un grado inferior a la variable de su izquierda. Por ejemplo, el número del extremo izquierdo es el coeficiente de la variable x^4, por lo que el término es 1 x^4, o solamente x^4. Al continuar con este proceso para cada número se obtiene la expresión polinómica

x^4 + x4V3 + 16x^2 + 61x.

El último término es el residuo de la división sintética y se escribe en el polinomio dividiendo el residuo entre el divisor. Esto da como resultado la expresión final factorizada

x^4 + x4V3 + 16x^2 + 61x + 249/(x - 4).

Consejos

Una manera de verificar tu trabajo es sustituir "a" del divisor en el polinomio original y resolver la expresión. Si se hace correctamente, el número que resulta debe ser igual al residuo determinado a través de la división sintética.