Cómo calcular autovalores y autovectores

Escrito por Kim Lewis ; última actualización: February 01, 2018
Matriz cuadrada de 2x2

Un autovector es un vector distinto de cero que, cuando es multiplicado por una matriz cuadrada, el resultado es un múltiplo de sí mismo. Este múltiplo es un escalar llamado “autovalor”. Encontrar autovalores y autovectores es necesario para la resolución de ecuaciones diferenciales, tales como las de mecánica cuántica y las de termodinámica. Deberás entender el concepto de una matriz algebraica y de determinantes para poder calcularlos.

Encuentra los autovalores de una matriz cuadrada A. Un autovalor es un escalar y es simbolizado por la letra griega lambda, pero por simplicidad, lo abreviaremos como L. Entonces, para un vector x distinto de cero que cumpla Ax=Lx , x es llamado autovalor de A. Los autovalores son hallados mediante el polinomio característico: det ( A- L I ) = 0. Det es el determinante y I es la matriz identidad.

Calcula los autovectores para cada autovalor. Para esto, debes encontrar el autoespacio E(L), que es el núcleo del polinomio característico. Los vectores distintos de cero de E(L) son los autovectores de A. Estos son hallados insertando los autovectores nuevamente en la matriz característica y encontrando una base para A-LI=0

Practica los pasos 1 y 2 estudiando la matriz de la imagen. Se muestra una matriz de 2x2, cuadrada.

Calcula los autovalores mediante el polinomio característico. Det (A – LI) = (1 – L)(–4 – L) – 3*2 = L^2 + 3L – 10 = 0, el polinomio característico. Luego de factorizar se obtiene (L + 5)(L – 2) = 0, ó L1 = –5 y L2 = 2. Estos son los autovalores de la matriz.

Encuentra los autovectores del autovalor L1 = -5 calculando el núcleo. Haz esto reemplazando L= -5 en la ecuación del polinomio característico y encuentra una base para A- (-5) = A+5 = 0. Las dos ecuaciones son 6x + 3y =0 y 2x+ y = 0. Eligiendo la segunda, ya que son equivalentes, da la solución 2x= -y. Si x = 1, entonces y = -2, y así v1 = (1, -2) es el autovector que genera el autoespacio de L1 = -5

Encuentra el autovector para el autovalor L = 2. La ecuación es x – 3y = 0, o x = -3y. Si x = 3, entonces y = -1, así v2 = (3,-1) es el autovector que genera el autoespacio de L = 2.

Referencias

  • Álgebra Lineal: Una introducción moderna; David Poole; 2006
  • 3000 Problemas resueltos de Álgebra Lineal; Seymour Lipschutz; 1989

Sobre el autor

Kim Lewis is a professional programmer and web developer. She has been a technical writer for more than 10 years and has written articles for businesses and the federal government. Lewis holds a Bachelor of Science, and occasionally teaches classes on how to program for the Internet.

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