Álgebra 2: métodos de eliminación

Escrito por Philip McIntosh ; última actualización: February 01, 2018
Uno de los métodos básicos del álgebra es la eliminación de términos dentro de las ecuaciones.

El método de eliminación es una técnica matemática para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La estrategia es utilizar la adición o la sustracción (a veces con la ayuda de la multiplicación) con el fin de combinar ecuaciones y eliminar una (o más) de las variables y reducir el problema a una sola variable. Una vez que se logra encontrar una de las variables de un sistema, entonces se sustituye en el sistema para resolver las variables restantes.

Sistemas susceptibles de eliminación

Para cualquier método de solución de sistemas lineales a trabajar, incluyendo la eliminación, el sistema debe cumplir las siguientes condiciones: debe haber tantas ecuaciones como incógnitas haya; las ecuaciones deben ser independientes (las ecuaciones no se puede derivar una de la otra); y el sistema debe ser compatible (todas las ecuaciones tienen el mismo conjunto de solución). La eliminación es una buena opción cuando dos (o más) ecuaciones comparten un idéntico término de coeficiente-variable (por ejemplo, el término "3y" aparece en ambas ecuaciones), o un término idéntico puede ser generado multiplicando una ecuación por un número constante entero.

Eliminación por sustracción

Si un sistema contiene un término coincidente, una de las ecuaciones se puede sumar o restar a la otra para eliminar una variable. Si los signos en frente de los términos son diferentes, las ecuaciones deben sumarse, si los signos son iguales, entonces las ecuaciones se deben restar. Por ejemplo, consideremos el sistema 4x + 3y ​​= 10 2x + 3y ​​= 2 Es evidente que ambas ecuaciones contienen un término "+3y", por lo que la ecuación se puede resolver por eliminación sustractiva como sigue: 4x + 3y ​​= 10 - (2x + 3y ​​= 2) -------------------- 2x + 3y ​​- 3y = 8 2x = 8 x = 8/2 = 4 A continuación, por sustitución: 4x + 3y ​​= 10 4 (4) + 3y ​​= 10 16 + 3y = 10 3y = -6 y = -6 / 3 = -2 Sustituyendo la solución (4, -2) de nuevo en las dos ecuaciones originales se llega a afirmaciones verdaderas, verificando así la solución.

Eliminación por adición

Si las signos delante de términos iguales son diferentes, entonces las ecuaciones deben ser sumadas. Si el sistema en el ejemplo anterior se cambió a 4x - 3y = 10 2x + 3y ​​= 2 tendría sentido sumar las ecuaciones (en lugar de restar) para eliminar el término "y": 4x - 3y = 10 + (2x + 3y ​​= 2) -------------------------- 6x + (-3y) + 3y = 12 6x = 12 x = 12/6 = 2 A continuación, por sustitución: 4x - 3y = 10 4 (2) - 3y = 10 8 - 3y = 10 -3y = 2 y = -2 / 3 La comprobación de la solución (2, -2 / 3) en las ecuaciones originales confirma que funcionan.

Multiplicando para generar una eliminación

Como las ecuaciones son múltiplos entre sí y tienen la misma solución, a veces una ecuación en un sistema puede ser multiplicada por una constante para producir su correspondiente coeficiente-variable de combinación. Por ejemplo, en el sistema 3x + 2y = 6 x - 4y = 2 la primera ecuación se puede multiplicar por 2 para generar 6x + 4y = 12. Entonces las dos ecuaciones se sumar para eliminar el término "y" como sigue: 2 (3x + 2y = 6) x - 4y = 2 6x + 4y = 12 + (X - 4y = 2) ------------------------ 7x + 4y - 4y = 14 7x = 14 x = 14/7 = 2 A continuación, por sustitución: 2 - 4y = 2 -4y = 0 y = 0 Se confirma que (2, 0) es una solución para el sistema.

Referencias

  • "Algebra I"; John H. Saxon Jr.; 2003

Sobre el autor

Philip McIntosh has more than 30 years of experience as an equipment engineer, scientific investigator and educator. He has been writing for 16 years, and his work has appeared in scientific journals, popular science magazines, trade journals and on science and technology websites. McIntosh holds a B.S. in botany and chemistry, and an M.A. in biological science.

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