Cómo integrar potencias pares de seno y coseno

Escrito por James McIlhargey ; última actualización: February 01, 2018
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La integración de funciones trigonómetricas es algo básico de los problemas de cálculo dados a los estudiantes. La integración trigonométrica se basa en una gran variedad de identidades que están disponibles para el estudiante. Conocer que propiedades usar hará el cálculo de integración sencillo (incluso potencias de seno y coseno).

Transforma el integrando en términos de seno y coseno, usando la igualdad de Pitágoras. Esta indica que sen^2(x) + cos^2(x) = 1. Si el integrando contiene potencias de seno y coseno, entonces sen^m(x)cos^n(x) puede escribirse como sen^{2k}(x)cos^n(x) = cos^n(x)(1 - cos^2(x))^k. Por lo tanto la exponenciación puede expandirse a la suma de potencias pares de coseno. Por ejemplo, si el integrando es sen^4(x)cos^4(x), la identidad pitagoreana arroja que cos^4(x)(1 - cos^2(x))^2 = cos^4(x)(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) = cos^4(x) - 2cos^6(x) + cos^8(x).

Usa la técnica de integración de reducción de potencias para bajar la de cada término. Estas identidades indican que para una potencia par de n, la integral de sen^n(x), Int{sen^n(x)} es: int{sen^n(x)} = -sen^(n - 1)(x)cos(x)/n + (n - 1) / n * int{sen^(n - 2)(x)} y para el coseno: int{cos^n(x)} = cos^(n - 1)(x)sen(x) / n+ (n - 1)/n * int{cos^(n - 2)(x)} Usa estas identidades para rebajar las potencias de una integral ya sea cos^2(x) o sen^2(x). En nuestro ejemplo anterior, la integración del segundo término de -2cos^6(x) puede reducirse a: int{-2cos^6(x)} = -2[cos^5(x)sin(x) / 6 + 5 / 6 * int{cos^4(x)}] = -2[cos^5(x)sen(x) / 6 + 5 / 6 * (cos^3(x)sen(x) / 4 + 3 / 4 * int{cos^2(x)})] = -cos^5(x)sen(x) / 3 - 5 / 12 * cos^3(x)sen(x) - 15 / 12 * int{cos^2(x)}.

Usa la reducción de potencia del doble ángulo. Esta indica que sen^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 y cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2. Esto reemplazará al último cos^2 o sen^2 en la cadena de integración de más arriba. Una vez realizada la sustitución, la integral será simple de ejecutar: int{cos^2(x)} = int{(1 + cos(2x))/2} = (2x + sen(2x)) / 4 y int{sen^2(x)} = int{(1 - cos(2x)) / 2} = (2x - sen(2x)) / 4. En nuestro ejemplo anterior para -2cos^6(x): int{-2cos^6(x)} = -cos^5(x)sin(x) / 3 - 5 / 12 * cos^3(x)sen(x) - 15 / 48 * sen(2x) - 15 / 24 * 2x, con la suma de una constante de integración. Los otros términos de la integral original pueden ser manejados de forma similar y se puede alcanzar la ecuación final.

Combina términos y aplica límites de integración. En este punto, deberías tener una larga cadena de términos en la integración. Los términos comunes son usados para combinar varios elementos de la suma para simplificar la integración. Si hay límites de integración, aplícalos para simplificar a un resultado numérico. Si no los hay, entonces deja la ecuación como está y suma +C para considerar la constante de integración.

Advertencias

Asegúrate de manejar cada término de forma separada y con cuidado. A medida que las potencias de seno y coseno aumenten, también lo harán los términos individuales para integrar.

Referencias

  • "Calculus: Concepts and Contexts"; James Stewart; 2009

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