Cómo hallar los puntos críticos de una función

Escrito por Michael Judge ; última actualización: February 01, 2018
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En matemática, un punto crítico de una función se define como aquellos puntos en donde su derivada se anula o no está definida. En un gráfico, estos puntos críticos suelen corresponder con áreas de valores máximos o mínimos, o un punto de inflexión. Puedes hallar la primera derivada utilizando el procedimiento dado por el análisis matemático. Una vez que conozcas la derivada primera, es sólo cuestión de hallar los valores de "x" en los que se anula o no está definida.

Escribe la función a la cual deseas hallarle los puntos críticos. Para una función simple en dos variables, x e y, debes escribirla de forma que y esté sola a un lado del signo de igual. Como ejemplo, consideremos la función y = 3x^2 + 2x + 2/3. Esto es a veces escrito utilizando el término f(x) en lugar de y.

Calcula la derivada de esta función. Para hallarla, toma cada término de la función de la forma (a)x^b, y reescríbelo de la forma (a)(b)x^(b-1). Si tienes un término que es sólo numérico y no tiene x en ella, deshazte del término. En el caso del ejemplo, deberías reescribir la función como sigue: f'(x) = (3)(2)x^(2-1) + (2)(1)x^(1-1), o f'(x) = 6x + 2 (ya que x^0 = 1). El apóstrofo de "f'" indica que se trata de la primera derivada.

Examina la primera derivada para ver si hay puntos en donde no esté definida. Esto se da a menudo por una división por cero. En el ejemplo de f'(x) = 6x +2 no hay puntos en donde no esté definida. No obstante, si por ejemplo se tuviera que la derivada de una función fuera f'(x) = 3/x, entonces esta función estaría indefinida en x = 0 y sería un punto crítico de esa función.

Calcula los puntos en donde la derivada se anula. En nuestro ejemplo, debes escribir 6x + 2 = 0 y hallar los valores en donde esto sucede. Resolver para x hace que el resultado sea x = -2/6 = -1/3, de modo que el punto crítico de la función original está en el punto x= -1/3.

Substituye el valor de x hallado en la ecuación original y calcula el valor correspondiente de y. En el caso del ejemplo, el único punto crítico se da en x = -1/3. Ingresando este valor en las ecuaciones te dará y = 3(-1/3)^2 + 2(-1/3) + 2/3. Resolviendo la ecuación nos queda y = 1/3 - 2/3 +2/3 o y = 1/3. De modo que los puntos críticos para esta función están dados por x = -1/3, y = 1/3 o el punto (-1/3, 1/3).

Consejos

Esta técnica suele ser utilizada para hallar máximos y mínimos en una función, lo cual puede ser útil para un proceso de optimización.

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