Cómo hallar una ecuación dada sus raices
Escrito por Kathryn White ; última actualización: February 01, 2018
En álgebra 2, los estudiantes pasan mucho tiempo aprendiendo cómo calcular las raíces de una ecuación polinómica utilizando varios métodos, tales como factorización, completar cuadrados o la fórmula cuadrática. Pueden etiquetar estas raíces en el gráfico del polinomio utilizando el plano coordinado. Si bien “ir hacia atrás” y encontrar la ecuación del gráfico dadas las raíces involucra los mismos conceptos básicos, el método es único. Debes conocer las habilidades básicas del álgebra, tales cómo utilizar la propiedad distributiva, identificar los puntos en un gráfico y resolver en una variable para encontrar una ecuación a partir de las raíces. Aún, sobretodo, el proceso es bastante directo y practicarlo profundizará tu entendimiento de la relación que mantienen las raíces y los polinomios con sus gráficos.
Comienza a analizar las raíces.
Si te dan las raíces de la ecuación de la forma X= , o de la forma de un sistema de notación, copia nuevamente la lista. Copia dos veces cualquier raíz marcada como “doble”. Si te dan las raíces de una forma gráfica, halla cada uno de los puntos donde el gráfico cruza el eje x. Los valores de x en cada uno de estos puntos son las raíces. Si el gráfico rebota en el eje x en lugar de cruzarlo en uno de estos puntos, esa es una raíz doble y debe copiarse dos veces. Cualquier raíz imaginaria tiene que ser dada de forma escrita. También debería tener su “conjugado”. Por ejemplo, si tienes la raíz 2 +3i, puedes asumir que también tienes la raíz –2-3i.
Transforma cada raíz en un factor cambiándole su signo (negativo a positivo y viceversa) y colocándola luego de la x entre paréntesis. Por ejemplo, si tu lista de raíces son: x=3, x=-4, x=-4; debes escribir los factores (x - 3)(x + 4)(x + 4). Sí tus raíces fueran -2 + 3i y -2 - 3i, tus factores serían be (x - (-2 + 3i)) y (x - (-2 - 3i) lo cual se simplificaría a (x + 2 - 3i) y (x + 2 + 3i).
Crea una ecuación colocando “Y” o “f(x)” a la izquierda del signo igual, y una constante llamada “k” multiplicada por todos los factores a la derecha del signo igual. En este caso, se vería así: Y = k(x - 3)(x + 4)(x + 4). Necesitas colocar “k” debido a que varias ecuaciones pueden tener las mismas raíces y cruzar el eje x en los mismos puntos, pero se pueden ver diferentes debido a que sus “lomadas” son más pronunciadas/aplanadas debido a que tienen flechas en direcciones ya sea positiva o negativa. El valor de “k” describe estas partes de la ecuación.
Identifica el punto verdadero a partir de la ecuación que se te dió en el problema. Estará escrito cómo un par coordenado o tendrás que identificarlo utilizando el gráfico en el plano coordenado.
Coloca en tu ecuación la coordenada “y” del punto para y, y la coordenada “x” para x. K debería ser la única variable desconocida en este punto. Por ejemplo, si el punto fuera (1,100), completarías la ecuación de este modo: 100 = k(1 - 3)(1 + 4)(1 + 4).
Simplifica la ecuación y resuelve para k. Aquí, 100 = k (-50), así que cuando dividas ambos términos por menos 50, terminarás con k=-2.
Escribe nuevamente tu ecuación utilizando tus factores, “Y”, y el valor hallado para k. En este caso, se vería así: Y = -2 (x - 3)(x + 4)(x + 4).
Sí te piden escribir la ecuación de la manera normal, necesitarás multiplicar por tus factores uno por vez, sumar los términos iguales, y luego distribuir y multiplicar cada término por k. Primero obtendrás Y = -2(x - 3)(x^2 + 8x + 16), luego Y = -2(x^3 + 8x^2 + 16 x - 3x^2 - 24x - 48. Sumar los términos iguales te dará: Y = -2(x^3 + 5x^2 - 8x - 48). Finalmente, distribuyendo –2 te dará: Y = -2x^3 - 10x^2 + 16x + 96.
Consejos
Cuando multipliques dos factores imaginarios conjugados, tales cómo (x + 3 - 4i) y (x + 3 + 4i), te deberías deshacer de todas las “i” y quedar únicamente con números reales en la ecuación.
