Cómo saber cuando una ecuación no tiene solución o infinitas soluciones

Escrito por Contributor ; última actualización: February 01, 2018
No todas las ecuaciones tienen solución.

Muchos estudiantes asumen que todas las ecuaciones tienen solución. Este artículo usará tres ejemplos que muestran que esta suposición es incorrecta.

Dada la ecuación 5x - 2 + 3x = 3(x+4)-1 para resolver, juntamos nuestros términos de la izquierda del signo igual y distribuimos el 3 en lado derecho del signo igual.

5x - 2 + 3x = 3(x+4)-1 es equivalente a 8x - 2 = 3x + 12 - 1; esto es: 8x - 2 = 3x + 11. Ahora juntamos los términos con x en un lado del signo igual (no importa si es el lado izquierdo o derecho).

Entonces 8x - 2 = 3x + 11 puede ser escrito como 8x - 3x = 11 + 2; esto es, quitamos 3x de ambos lados del signo igual y agregamos 2 a ambos lados del signo igual, y el resultado de la ecuación ahora es 5x = 13. Aislamos la x dividiendo ambos lados por 5 y nuestra respuesta será x = 13/5. Esta ecuación tiene una respuesta única que es x = 13/5.

Resolvamos la ecuación 5x - 2 + 3x = 3(x+4) + 5x - 14. Para resolverla, seguimos el mismo proceso como en el paso 1 a 3 y tenemos la ecuación equivalente 8x - 2 = 8x - 2. Aquí juntamos los términos con x en el lado izquierdo del signo igual y los términos constantes en el lado derecho; así queda la ecuación: 0x = 0, que es 0=0, lo que es un resultado verdadero.

Si miramos cuidadosamente la ecuación 8x - 2 = 8x - 2, veremos que, por cualquier x que sustituyas en ambos lados de la ecuación, el resultado será el mismo; así que la solución a esta ecuación es x es real. Cualquier número x servirá para esta ecuación. ¡Pruébalo!

Ahora resolvamos la ecuación 5x - 2 + 3x = 3(x+4) + 5x - 10 siguiendo el mismo procedimiento de los pasos de arriba. Obtendremos la ecuación 8x - 2 = 8x + 2. Juntamos los términos con x en el lado izquierdo del signo igual y los términos constantes en el lado derecho y veremos que 0x =4; esto es, 0 = 4, lo cual no es un resultado verdadero.

Si 0 = 4, entonces yo podría ir a cualquier banco, darles US$0 y obtener US$4. Imposible. Eso nunca ocurrirá. En este caso, no hay valor para x que sirva para la ecuación dada en el Paso 6. Entonces la solución a esta ecuación es: no tiene solución.

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