Cómo calcular una integral impropia

Escrito por Karl Wallulis ; última actualización: February 01, 2018
Las integrales impropias calculan el área a medida que x llega hasta el infinito positivo o negativo.

Las integrales impropias tienen infinito positivo o negativo en uno o ambos de los límites de las integrales. Es difícil imaginar el cálculo del área de un gráfico que se estrecha hasta el infinito positivo o negativo, pero es posible con el uso de límites infinitos. Sustituye temporalmente una variable t en la integral impropia para, a continuación, calcular la integral tomando el límite cuando t tiende al infinito en la antiderivada de la función. Para ciertos tipos de funciones, esto se traducirá en una solución de número real.

Vuelve a colocar el integrando impropio (∞ ó - ∞) con una variable de marcador de posición en la integral impropia. Por ejemplo, en la integral de 1 a ∞ de 1/x^2 dx, reemplaza el integrando con ∞ para obtener la integral de 1 a t de 1/x^2 dx.

Resuelve la integral definida de 1 a t mediante el cálculo de la antiderivada de la función y su evaluación en los valores f(t) y f(1). En el ejemplo anterior, la antiderivada de 1/(x ^ 2) es -1/x. La integral es por tanto igual a -1/t - (-1/1).

Simplifica la expresión en el paso 2 mediante la distribución de los factores, la combinación de términos semejantes, y la reducción de fracciones. La expresión -1 /t - (-1 / 1) se simplifica a -1/t + 1, o 1 - 1/t.

Toma el límite de la expresión simplificada de la Etapa 3 a medida que la variable t llega hasta infinito positivo o negativo (sea cual sea el signo de infinito del integrando que has sustituido con t en el paso 1) y simplifica la respuesta. En el ejemplo anterior, el límite de t cuando llega hasta infinito de 1 - 1 / t es 1 - 0, o 1. La integral impropia de 1 a ∞ de la función 1 / x ^ 2 es por lo tanto igual a 1.

Consejos

Algunas integrales impropias no tienen una solución de número real. Si el límite t tiende a infinito devuelve un resultado no definido en el Paso 4 (por ejemplo, si T está en el numerador en lugar del denominador), entonces la integral impropia tiene un valor indefinido.

Sobre el autor

Karl Wallulis has been writing since 2010. He has written for the Guide to Online Schools website, covering academic and professional topics for young adults looking at higher-education opportunities. Wallulis holds a Bachelor of Arts in psychology from Whitman College.

Créditos fotográficos

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